“几乎处处相等吗……”
朗兰兹的嘴里像在叨念著这几个字。
几乎处处相等。
实分析里最朴素不过的四个字。
可是这四个字落在这儿，分量却是很重。
对关联函数，承载的是零点的统计信息。
而零点的统计信息，是自守L函数最深的、最后才被人看到的那一面。
两个欧拉乘积不一样的自守L函数，零点集合会几乎处处重合？
朗兰兹的第一反应是……
不可能。
可他没急著把这张纸放下。
他又看了看手中的A4纸。
弗兰克就坐在对面。
没有说话。
只是把第五杯咖啡，轻轻放到了老人的手边。
朗兰兹下意识地伸手去摸桌上的钢笔。
他想试一试。
这种东西，就是一个Conjecture，是不是还能做一些很小的验证啊？
朗兰兹说不准。
但他总归要伸手碰一碰，才知道它是一碰就破，还是一碰就立。
他抽过一张白纸，把钢笔的套一拧开。
最先写下的，是一个所有人都熟得不能再熟的情形。
循环基变换。
GL(2)在一个循环扩张E/F下的基变换，这是1989年他自己的学生亚瑟和克洛泽尔就已经干完的事情。
π是GL(2，A_F)的一个尖点自守表示。
E/F是循环扩张，伽罗瓦群由一个特征χ生成。
π的基变换π_E的L函数，可以写成π被χ的各次方扭后的L函数的乘积。
L(s，π_E)=∏L(s，π?χ^k)
朗兰兹的笔在“∏”这个符号上停了一下。
他要验证的是充要条件里的必要那一半。
在这个已经被证明的特例里，李东那张纸上的结论应该是自洽的……
π_E既然是π的转移，那它们的对关联函数就应该几乎处处相等。
老人很慢地在纸上算。
L(s，π_E)的零点集，是那几个L(s，π?χ^k)零点集的并。
π_E的对关联函数F_{π_E}(a)，形式上应该分成两部分。
一部分，是每一个L(s，π?χ^k)自身零点内部的对相关。
这些跟F_π(a)形状是一样的，因为扭乘不改变GUE普适性。
另一部分，是不同的L(s，π?χ^k)的零点彼此交叉的相关项。
朗兰兹的笔停住了。
这个交叉项。
按李东的判据，它在[0，4/n]区间里应该消散成……
他慢慢地往后算。
算到一半。
他眉头轻轻皱了一下。
弗兰克看著他那皱起来的眉毛。
心也跟著提了起来。
又过了几分钟。
朗兰兹那紧皱著的眉头，才慢慢地松开。
交叉项里，那个本来让他觉得不对劲的地方，在李东那个e_v≤n的分歧指数限制下，会被狠狠地压下去。
压到几乎处处为零。
朗兰兹轻轻“嗯”了一声。
必要方向的这一半，在循环基变换这个特例上，是立得住的。
但这还不够。
因为必要方向太容易了。
函子性一旦成立，L函数相等，零点就相等，对关联函数自然也相等。
真正让他想伸手碰一碰的，是反过来的那一半。
两个尖点自守表示，只要它们的对关联函数几乎处处相等，就一定由函子性关联起来？
朗兰兹拿起了一张纸。
他打算找一个反例。
一个一碰就能把这个猜想戳穿的反例。
他第一个想到的，是两个伽罗瓦共轭的自守表示。
它们的L函数乍看之下很像，但它们之间的转移并不属于朗兰兹函子性里任何一个L-同态。
朗兰兹笑了一下。
他觉得
自己这下，一伸手就能把这个看似完美的猜想戳破。
他低下头，笔在纸上飞快的写著，把两个表示的对关联函数一步步拆解、计算。
前后不到十分钟。
老人手里的笔，轻轻落在了纸上。
结果完全出乎他的意料。
这对看似天衣无缝的共轭表示，在李东的零点判据下，它们的对关联函数根本做不到“几乎处处相等”。
在一个极窄却关键的区间里，两组数值会彻底分开，差异清晰到根本无法忽略。
它连猜想的核心前提都满足不了，根本没资格当反例。
朗兰兹又换了一张白纸。
他试了第二个业内最刁钻的漏洞武器：CAP表示。
这东西是个彻头彻尾的伪装者。
它长得和符合要求的尖点自守表示几乎一模一样，很容易混进前提条件里，但它本质上是从更小的群上残余下来的“伪尖点”，天生就不符合朗兰兹函子性的要求。
无数同行的工作，都因为没防住这个伪装者，最后功亏一篑。
可这一次，笔还没写几行，朗兰兹就停住了。
他甚至不用完整算完，就已经在心里得出了结果。
李东的猜想，在进门的第一步就设了一道铁闸。
“两者均满足自守表示局部-整体相容性的零点判据”。
这个伪装者，连这第一道安检都过不了，直接被拦在了门外，连碰一碰猜想核心结论的资格都没有。
弗兰克就坐在对面，安静地看著这一切。
其实他自己，早在四天前就已经对著这张A4纸，干过同样的事情。
他当时挑了几个自己最熟的情形，想把这个Conjecture戳破。
结果戳了整整一个下午。
戳完以后，他坐在办公室里，望著窗外发呆了整整半个小时。
然后他才下决心，买了普林斯顿的机票。
此时朗兰兹又换了一张纸。
这一回，他试的是一个更刁钻的情形……
在非平凡L-同态下，两个表示在绝大多数局部位上局部匹配，唯独在有限个坏位上出问题的情形。
这种东西，在传统的迹公式方法里是最麻烦的。
但李东这个Conjecture不走迹公式。
它走的是零点对关联。
零点对关联是整体的东西，不看某一个坏位。
朗兰兹看著手上算出来的那几行。
半晌没动。
最后他放下笔。
“了不起。”
老人低声说。
“真的了不起啊。”
他抬起头，看向弗兰克。
“弗兰克。”
“我这边，没有任何问题。”
弗兰克整个人僵了一下。
他其实早有预感。
但是从朗兰兹本人嘴里听到这句话，还是不一样。
那意味著。
这个Conjecture，至少在他这个层面上，一碰没破，反而立住了。
以后这个Conjecture，可以叫做“李氏猜想”了。
弗兰克默默地点了点头，站了起来。
他看了一眼桌上那杯又凉了的咖啡，又看了一眼墙上那口老钟。
从上午进门到现在，老爷子几乎没怎么站起来过。
光是论文就看了四个小时。
后面这张A4纸，又在纸上算了大半个小时。
弗兰克很想继续和他聊。
聊这张A4纸，聊这整篇论文，聊李东这个年轻人。
但他不能再聊了。
朗兰兹这把身子，可扛不住这么长时间的工作。
“教授。”
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